庞加莱猜想 庞加莱三体问题
山南慕北 2019-02-13
庞加莱在很多看来是可以与牛顿相提并论的数学家，他的研究涉及数论、代数学、几何学、拓扑学、天体力学、数学物理、多复变函数论、科学哲学等方面，尤其是庞加莱猜想最为人熟知。
庞加莱
庞加莱
庞加莱猜想
1904年，庞加莱在一篇论文中提出了一个看似很简单的拓扑学的猜想：在一个三维空间中，假如每一条封闭的曲线都能收缩到一点，那么这个空间一定是一个三维的圆球。但1905年发现其中的错误，修改为：“任何与n维球面同伦的n维封闭流形必定同胚于n维球面。”后来这个猜想被推广至三维以上空间，被称为“高维庞加莱猜想”。
其中三维的情形被俄罗斯数学家格里戈里·佩雷尔曼于2003年左右证明。2006年，数学界最终确认佩雷尔曼的证明解决了庞加莱猜想。庞加莱猜想是一个拓扑学中带有基本意义的命题，将有助于人类更好地研究三维空间，其带来的结果将会加深人们对流形性质的认识。
庞加莱三体问题
庞加莱在天体力学方面，他研究了旋转流体的形状与稳定性。更重要的是，他为研究三体运动问题而发展出一整套最先进的数学工具（微分方程定性理论），首次发现了确定性系统内部的不确定运动（所谓的“混沌（chaos）”），对非线性物理学、非线性力学乃至于气象学、生物学都形成巨大的冲击与促进。
当汪淼问魏成是否知道庞加莱时，魏成回答：“当时不知道，学数学的不知道庞加莱是不对，但我不敬仰大师，自己也不想成大师，所以不知道。但就算当时知道庞加莱我也会继续对三体问题的研究。全世界都认为这人证明了三体问题不可解，可我觉得可能是个误解，他只是证明了初始条件的敏感性，证明了三体系统是一个不可积分的系统，但敏感性不等于彻底的不确定，只是这种确定性包含着数量更加巨大的不同形态，现在要做的是找到一种新的算法。当时我立刻想到了一样东西：你听说过‘蒙特卡洛法’吗？哦，那是一种计算不规则图形面积的计算机程序算法，具体做法是在软件中用大量的小球随机击打那块不规则图形，被击中的地方不再重复打击，这样，达到一定的数量后，图形的所有部分就会都被击中一次，这时统计图形区域内小球的数量，就得到了图形的面积，当然，球越小结果越精确。”
庞加莱证明的是三体运动的微分方程不可积分，也就是说没有解析解，无法表达成一个代数式甚至超越数的形式，但可以用数值解。尽管庞加莱那时候还没有计算机，但后人在有了计算机之后，利用计算机强大的计算功能，给出了海量巨大的计算，不仅得到了其他形式的特解（类似于欧拉与拉格朗日的特解）以一般情况下的数值解，画出了大量图。
毫无疑问，是庞加莱将三体运动的研究推向了第一个最高峰。因此这一部分，我将介绍庞加莱生平、成就，以及他如何证明“三体问题在数学上不可解”，如何“从三体问题出发，在微分方程问题上创造了新的数学方法”。
